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Die Lösung quadratischer Gleichungen

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Dieser Artikel berücksichtigt die quadratische Standardgleichung der Form:

Der Artikel leitet eine Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung ab, indem stattdessen ein vollständiger quadratischer numerischer Wert ergänzt wird a, b, c wird nicht ersetzt.

ax 2 + bx + c = 0 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch aber.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 Subtrahieren s / a von beiden Seiten der Gleichung.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 Teilen Sie den Koeffizienten bei x (b / a) durch 2 und quadrieren Sie dann das Ergebnis. Addiere das Ergebnis zu beiden Seiten der Gleichung.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Vereinfachen Sie den Ausdruck, indem Sie die linke Seite berücksichtigen und die Terme auf der rechten Seite hinzufügen (finden Sie zuerst den gemeinsamen Nenner).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a 2) + (b 2 / 4a 2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Extrahieren Sie die Quadratwurzel von jeder Seite der Gleichung.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b 2 - 4ac) / 4a 2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Subtrahieren b / 2a Von beiden Seiten erhalten Sie die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Diskriminant

Es sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann - ist dies nur die Zahl D = b 2 - 4 ac.

Diese Formel muss auswendig können. Woher es kommt ist jetzt unwichtig. Eine andere Sache ist wichtig: Durch das Vorzeichen der Diskriminante können Sie bestimmen, wie viele Wurzeln die quadratische Gleichung hat. Nämlich:

  1. Wenn DD = 0, gibt es genau eine Wurzel,
  2. Wenn D> 0 ist, gibt es zwei Wurzeln.

Anmerkung: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und überhaupt nicht ihre Anzeichen, wie aus irgendeinem Grund viele glauben. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Herausforderung. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

  1. x 2 - 8 x + 12 = 0,
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
  3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung auf und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12,
D = (–8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Ist die Diskriminante also positiv, so hat die Gleichung zwei unterschiedliche Wurzeln. In ähnlicher Weise analysieren wir die zweite Gleichung:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = –131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Die letzte Gleichung bleibt:
a = 1, b = –6, c = 9,
D = (–6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

Die Diskriminante ist Null - die Wurzel ist Eins.

Beachten Sie, dass für jede Gleichung Koeffizienten geschrieben wurden. Ja, es ist eine lange Zeit, ja, es ist langweilig - aber Sie werden die Koeffizienten nicht verwechseln und dumme Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie nach einer Weile „Ihre Hand drin haben“, müssen Sie nicht mehr alle Gewinnchancen aufschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Menschen beginnen dies irgendwo nach 50-70 gelösten Gleichungen - im Allgemeinen nicht so sehr.

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Fahren wir nun mit der Lösung fort. Wenn die Diskriminante D> 0 ist, können die Wurzeln durch die Formeln gefunden werden:

Die Grundformel der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Wenn D = 0, können Sie eine dieser Formeln verwenden - Sie erhalten die gleiche Zahl, die die Antwort sein wird. Wenn schließlich D x 2 - 2 x - 3 = 0 ist,

  • 15 - 2 x - x 2 = 0,
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Erste Gleichung:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = -2, c = -3,
    D = (–2) 2 - 4 · 1 · (–3) = 16.

    D> 0 ⇒ Die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finde sie:

    Die zweite Gleichung:
    15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = -1, b = -2, c = 15,
    D = (–2) 2 - 4 · (–1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ Die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Finde sie

    Zum Schluss die dritte Gleichung:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
    D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ Die Gleichung hat eine Wurzel. Sie können eine beliebige Formel verwenden. Zum Beispiel das erste:

    Wie Sie den Beispielen entnehmen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler beim Ersetzen negativer Koeffizienten in der Formel auf. Auch hier hilft die oben beschriebene Technik: Schauen Sie sich die Formel im wahrsten Sinne des Wortes an, notieren Sie sich jeden Schritt - und beseitigen Sie sehr bald Fehler.

    Unvollständige quadratische Gleichungen

    Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

    Es ist leicht zu bemerken, dass einer der Ausdrücke in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als die Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berücksichtigen. Also führen wir ein neues Konzept ein:

    Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 wird aufgerufen, wenn b = 0 oder c = 0 ist, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist Null.

    Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide dieser Koeffizienten gleich Null sind: b = c = 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form a x 2 = 0. Offensichtlich hat diese Gleichung eine einzige Wurzel: x = 0.

    Betrachten Sie die verbleibenden Fälle. Sei b = 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0. Wir transformieren sie leicht:

    Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung

    Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl besteht, ist die letzte Gleichheit nur für (- c / a) ≥ 0 sinnvoll. Fazit:

    1. Wenn die Ungleichung (- c / a) ≥ 0 in einer unvollständigen quadratischen Gleichung der Form ax 2 + c = 0 gilt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben
    2. Wenn (- c / a) c / a) ≥ 0. Es reicht aus, die Menge x 2 auszudrücken und zu sehen, was sich auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens befindet. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

    Wir werden uns nun mit Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0 befassen, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es reicht aus, das Polynom zu faktorisieren:

    Klammerung des gemeinsamen Faktors

    Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Von hier aus sind die Wurzeln. Abschließend analysieren wir mehrere solcher Gleichungen:

    Herausforderung. Quadratische Gleichungen lösen:

    x 2 - 7 x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = –30 ⇒ x 2 = –6. Es gibt keine Wurzeln, weil Das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5, x 2 = −1,5.

    Beispiele für quadratische Gleichungen

    • 5x 2 - 14x + 17 = 0
    • −x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0,25x = 0
    • x 2 - 8 = 0

    Um "a", "b" und "c" zu finden, müssen Sie Ihre Gleichung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung "ax 2 + bx + c = 0" vergleichen.

    Lassen Sie uns üben, die Koeffizienten a, b und c in quadratischen Gleichungen zu definieren.

    GleichungGewinnchancen
    5x 2 - 14x + 17 = 0
    • a = 5
    • b = –14
    • c = 17
    −7x 2 - 13x + 8 = 0
    • a = –7
    • b = –13
    • c = 8
    −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = -1
    • b = 1
    • c =
      1
      3
    x 2 + 0,25x = 0
    • a = 1
    • b = 0,25
    • c = 0
    x 2 - 8 = 0
    • a = 1
    • b = 0
    • c = –8

    Wie man quadratische Gleichungen löst

    Im Gegensatz zu linearen Gleichungen werden quadratische Gleichungen mit einer speziellen Formel zum Finden der Wurzeln gelöst.

    Um die quadratische Gleichung zu lösen, benötigen Sie:

    • Reduzieren Sie die quadratische Gleichung auf die allgemeine Form "ax 2 + bx + c = 0". Das heißt, nur "0" sollte auf der rechten Seite bleiben,
    • benutze die Formel für die Wurzeln:

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Schauen wir uns ein Beispiel an, wie Sie die Formel anwenden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Löse die quadratische Gleichung.

    Die Gleichung "x 2 - 3x - 4 = 0" wurde bereits auf die allgemeine Form "ax 2 + bx + c = 0" reduziert und erfordert keine zusätzlichen Vereinfachungen. Um es zu lösen, müssen wir uns nur bewerben die Formel zum Finden der Wurzeln der quadratischen Gleichung.

    Definieren Sie die Koeffizienten "a", "b" und "c" für diese Gleichung.

    GleichungGewinnchancen
    x 2 - 3x - 4 = 0
    • a = 1
    • b = -3
    • c = -4

    Ersetze sie in der Formel und finde die Wurzeln.

    x 2 - 3x - 4 = 0
    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    Antwort: x1 = 4, x2 = −1

    Denken Sie daran, die Formel zum Finden der Wurzeln auswendig zu lernen.

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Mit seiner Hilfe wird jede quadratische Gleichung gelöst.

    In der Formel "x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a
    »Ersetzen Sie oft radikalen Ausdruck
    "B 2 - 4ac" im Buchstaben "D" und wird als Diskriminante bezeichnet. Das Konzept der Diskriminanz wird in der Lektion „Was ist Diskriminanz?“ Ausführlicher erörtert.

    Betrachten Sie ein weiteres Beispiel einer quadratischen Gleichung.

    In dieser Form ist die Bestimmung der Koeffizienten "a", "b" und "c" ziemlich schwierig. Bringen wir zunächst die Gleichung in die allgemeine Form "ax 2 + bx + c = 0".

    Jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln verwenden.

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    Antwort: x = 3

    Es gibt Zeiten, in denen es keine Wurzeln in quadratischen Gleichungen gibt. Diese Situation tritt auf, wenn in der Formel unter der Wurzel eine negative Zahl angezeigt wird.

    Wir erinnern uns an die Definition der Quadratwurzel, dass es unmöglich ist, die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu extrahieren.

    Betrachten Sie ein Beispiel für eine quadratische Gleichung ohne Wurzeln.

    5x 2 + 2x = -3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    Antwort: Es gibt keine gültigen Wurzeln.

    Wir haben also eine Situation, in der sich eine negative Zahl unter der Wurzel befindet. Dies bedeutet, dass die Gleichung keine Wurzeln hat. Deshalb haben wir als Antwort „Keine wirklichen Wurzeln“ geschrieben.

    Was bedeuten die Worte "keine echten Wurzeln"? Warum kannst du nicht einfach "keine Wurzeln" schreiben?

    Tatsächlich gibt es in solchen Fällen Wurzeln, aber sie durchlaufen nicht den Schullehrplan. Als Reaktion darauf verzeichnen wir, dass es unter den reellen Zahlen keine Wurzeln gibt. Mit anderen Worten: "Es gibt keine wirklichen Wurzeln."

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