Hilfreiche Ratschläge

Konvertieren und vereinfachen Sie komplexere Ausdrücke mit Roots

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Wenn wir mit der Wurzel in der Schule vertraut sind, studieren wir das Konzept irrationaler Ausdrücke. Solche Ausdrücke hängen eng mit den Wurzeln zusammen.

Irrationale Ausdrücke Sind Ausdrücke, die eine Wurzel haben. Das heißt, dies sind Ausdrücke, die Radikale haben.

Basierend auf dieser Definition haben wir x - 1, 8 3 · 3 6 - 1 2 · 3, 7 - 4 · 3 · (2 ​​+ 3), 4 · a 2 d 5: d 9 2 · a 3 5 - Dies sind alles irrationale Ausdrücke.

Wenn wir den Ausdruck x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 betrachten, erhalten wir, dass der Ausdruck rational ist. Rationale Ausdrücke umfassen Polynome und algebraische Brüche. Irrationale beinhalten das Arbeiten mit logarithmischen Ausdrücken oder verwurzelten Ausdrücken.

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Zu Beginn der Lektion wiederholen wir die grundlegenden Eigenschaften von Quadratwurzeln und betrachten dann einige komplexe Beispiele, um Ausdrücke mit Quadratwurzeln zu vereinfachen.

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, das Thema zu verstehen, empfehlen wir Ihnen, die Lektion „Vereinfachung von Ausdrücken“ zu lesen.

Wiederholte Quadratwurzel-Eigenschaften

Wir wiederholen kurz die Theorie und erinnern uns an die grundlegenden Eigenschaften der Quadratwurzeln.

Eigenschaften der Quadratwurzeln:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Beispiele zur Vereinfachung von Ausdrücken mit Wurzeln

Fahren wir mit Beispielen für die Verwendung dieser Eigenschaften fort.

Beispiel 1 Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung. Zur Vereinfachung muss die Zahl 120 in einfache Faktoren zerlegt werden:

. Wir werden das Quadrat der Summe nach der entsprechenden Formel aufdecken:

.

Beispiel 2 Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung. Wir berücksichtigen, dass dieser Ausdruck nicht für alle möglichen Werte der Variablen Sinn macht, da die Quadratwurzeln und Brüche in diesem Ausdruck vorhanden sind, was zu einer "Einengung" des Bereichs zulässiger Werte führt. ODZ :).

Wir geben dem gemeinsamen Nenner den Ausdruck in Klammern und schreiben den Zähler des letzten Bruchs als Differenz der Quadrate:

.

Die antwort..

Beispiel 3 Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung. Es ist zu erkennen, dass die zweite Klammer des Zählers ein unangenehmes Aussehen hat und vereinfacht werden muss. Wir werden versuchen, sie mithilfe der Gruppierungsmethode zu faktorisieren.

. Um einen gemeinsamen Faktor ausrechnen zu können, haben wir die Wurzeln vereinfacht, indem wir sie berücksichtigt haben. Ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck durch die ursprüngliche Fraktion:

. Nach dem Reduzieren des Bruches wenden wir die Formel der Differenz der Quadrate an.

Ein Beispiel für die Beseitigung von Irrationalität

Beispiel 4 Um Irrationalität (Wurzeln) im Nenner loszuwerden: a).

Lösung. a) Um Irrationalitäten im Nenner zu beseitigen, wird die Standardmethode angewendet, bei der sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruches mit dem Faktor multipliziert werden, der mit dem Nenner konjugiert ist (der gleiche Ausdruck, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen). Dies geschieht, um den Nenner des Bruchs zur Differenz der Quadrate zu addieren, wodurch Sie die Wurzeln im Nenner loswerden können. Wir führen diese Technik in unserem Fall durch:

.

b) wir führen ähnliche Aktionen durch:

.

Die antwort..

Ein Beispiel für den Beweis und die Zuordnung eines vollen Quadrats in einem komplexen Radikal

Beispiel 5 Beweisen Sie die Gleichheit.

Beweis. Wir verwenden die Definition der Quadratwurzel, aus der folgt, dass das Quadrat des rechten Ausdrucks gleich dem Wurzelausdruck sein muss:

. Wir zeigen die Klammern nach der Formel des Quadrats der Summe:

erhielt wahre Gleichheit.

Beispiel 6 Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Lösung. Der angegebene Ausdruck wird üblicherweise als komplexes Radikal (Wurzel unter der Wurzel) bezeichnet. In diesem Beispiel müssen Sie raten, das vollständige Quadrat aus dem Stammausdruck auszuwählen. Dazu notieren wir den der beiden Begriffe und für die Rolle des zweiten - 1.

. Ersetzen Sie diesen Ausdruck an der Wurzel:

.

Die antwort..

In dieser Lektion beenden wir das Thema „Funktion. Die Eigenschaften der Quadratwurzel “, und in der nächsten Lektion beginnen wir mit dem neuen Thema„ Reelle Zahlen “.

Referenzliste

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. Klasse. - M .: Ausbildung, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova SB, Bunimovich EA und andere Algebra 8. - 5. Aufl. - M .: Ausbildung, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. Klasse. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. - M .: Ausbildung, 2006.

Zusätzliche empfohlene Links zu Internetquellen

1. Das Internetportal xenoid.ru (Quelle).

2. Mathematische Schule (Quelle).

3. Internetportal XReferat.Ru (Quelle).

Hausaufgaben

357, 360, 372, 373, 382. Dorofeev G. V., Suvorova SB, Bunimovich EA und andere Algebra 8. - 5. Aufl. - M .: Ausbildung, 2010.

2. Beseitigen Sie die Irrationalität im Nenner: a).

3. Vereinfachen Sie den Ausdruck: a).

4. Beweisen Sie die Identität.

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Die wichtigsten Arten von Transformationen irrationaler Ausdrücke

Bei der Berechnung solcher Ausdrücke ist die DLD zu beachten. Oft erfordern sie zusätzliche Transformationen in Form von öffnenden Klammern, Besetzung ähnlicher Mitglieder, Gruppen usw. Die Basis solcher Transformationen sind Handlungen mit Zahlen. Transformationen irrationaler Ausdrücke folgen einer strengen Reihenfolge.

Konvertieren Sie den Ausdruck 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3.

Sie müssen die Zahl 9 durch einen Ausdruck ersetzen, der die Wurzel enthält. Dann bekommen wir das

81 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3

Der resultierende Ausdruck hat ähnliche Ausdrücke, daher führen wir die Reduktion und Gruppierung durch. Bekommen

9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 - 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Die Antwort lautet: 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3

Präsentieren Sie den Ausdruck x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 in Form eines Produkts aus zwei irrationalen mit den abgekürzten Multiplikationsformeln.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Wir stellen 9 in Form von 3 2 dar und wenden die Formel der Differenz der Quadrate an:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = x + 3 5 - 1 - 3 · x + 3 5 - 1 + 3 = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2

Das Ergebnis der identischen Transformationen führte zum Produkt zweier rationaler Ausdrücke, die gefunden werden mussten.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Sie können eine Reihe anderer Transformationen ausführen, die sich auf irrationale Ausdrücke beziehen.

Root-Ausdruck konvertieren

Es ist wichtig, dass der Ausdruck unter dem Vorzeichen der Wurzel durch einen ihm gleichen ersetzt werden kann. Diese Aussage ermöglicht es, mit dem radikalen Ausdruck zu arbeiten. Beispielsweise kann 1 + 6 durch 7 oder 2 · a 5 4 - 6 durch 2 · a 4 · a 4 - 6 ersetzt werden. Sie sind identisch, daher ist ein Austausch sinnvoll.

Wenn es keine andere 1 als a gibt, wo eine Ungleichung der Form a n = a 1 n wahr ist, dann ist eine solche Gleichheit nur für a = a 1 möglich. Die Werte solcher Ausdrücke sind mit allen Werten der Variablen identisch.

Root-Eigenschaften verwenden

Root-Eigenschaften werden verwendet, um Ausdrücke zu vereinfachen. Um die Eigenschaft a · b = a · b anzuwenden, wobei a ≥ 0, b ≥ 0 ist, können wir aus der irrationalen Form 1 + 3 · 12 gleich 1 + 3 · 12 werden. Eigentum. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 ·,. . . , · N k, wobei a ≥ 0 angibt, dass x 2 + 4 4 3 in der Form x 2 + 4 24 geschrieben werden kann.

Es gibt einige Nuancen bei der Transformation radikaler Ausdrücke. Wenn es einen Ausdruck gibt, können wir - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 nicht schreiben, da die Formel a b n = a n b n nur für nicht negatives a und positives b dient. Wenn die Eigenschaft korrekt angewendet wird, erhalten wir einen Ausdruck der Form 7 4 81 4.

Für die korrekte Transformation werden Transformationen irrationaler Ausdrücke unter Verwendung der Eigenschaften der Wurzeln verwendet.

Einführung eines Multiplikators unter dem Wurzelzeichen

Treten Sie unter dem Wurzelzeichen ein - bedeutet, den Ausdruck B · C n zu ersetzen, und B und C sind Zahlen oder Ausdrücke, wobei n eine natürliche Zahl ist, die größer als 1 ist, ein gleicher Ausdruck, der die Form B n · C n oder - B n · C n hat.

Wenn wir den Ausdruck der Form 2 · x 3 vereinfachen, erhalten wir nach der Eingabe unter der Wurzel diese 2 3 · x 3. Solche Transformationen sind nur nach einer detaillierten Untersuchung der Regeln zur Einführung eines Faktors unter dem Wurzelzeichen möglich.

Extraktion des Faktors unter dem Wurzelzeichen

Wenn es einen Ausdruck der Form B n · C n gibt, dann wird er auf die Form B · C n reduziert, wo es ungerade n gibt, die die Form B · C n mit geraden n annehmen, wobei B und C einige Zahlen und Ausdrücke sind.

Das heißt, wenn wir einen irrationalen Ausdruck der Form 2 3 · x 3 nehmen, den Faktor unter der Wurzel herausnehmen, dann erhalten wir den Ausdruck 2 · x 3. Oder x + 1 2 · 7 ergibt einen Ausdruck der Form x + 1 · 7, der eine andere Notation in der Form x + 1 · 7 hat.

Das Herausziehen des Faktors unter der Wurzel ist notwendig, um den Ausdruck zu vereinfachen und ihn schnell zu transformieren.

Brüche mit Wurzeln umrechnen

Ein irrationaler Ausdruck kann entweder eine natürliche Zahl oder ein Bruch sein. Bei der Umrechnung von Teilausdrücken wird viel Wert auf den Nenner gelegt. Wenn wir einen Bruchteil der Form (2 + 3) · x 4 x 2 + 5 3 annehmen, nimmt der Zähler die Form 5 · x 4 an, und wenn wir die Eigenschaften der Wurzeln verwenden, erhalten wir, dass der Nenner x 2 + 5 6 wird. Der Anfangsbruch kann in der Form 5 · x 4 x 2 + 5 6 geschrieben werden.

Es ist darauf zu achten, dass nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners geändert werden muss. Wir verstehen das

- x + 2 · x - 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x - (- 3 · x 2 + 7 4) = x + 2 · x 3 · x 2 - 7 4

Die Fraktionsreduzierung wird am häufigsten zur Vereinfachung verwendet. Wir verstehen das

3 · x + 4 3 - 1; x x + 4 3 - 1 3 reduzieren wir um x + 4 3 - 1. Wir erhalten den Ausdruck 3 · x x + 4 3 - 1 2.

Vor der Reduktion müssen Transformationen durchgeführt werden, die den Ausdruck vereinfachen und die Faktorisierung des komplexen Ausdrucks ermöglichen. Die am häufigsten verwendeten Formeln sind abgekürzte Multiplikationen.

Wenn wir einen Bruchteil der Form 2 · x - y x + y annehmen, müssen neue Variablen u = x und v = x eingeführt werden, dann ändert der gegebene Ausdruck die Form und wird zu 2 · u 2 - v 2 u + v. Der Zähler sollte durch die Formel in Polynome zerlegt werden, dann bekommen wir das

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v. Nach der umgekehrten Ersetzung erhalten wir die Form 2 · x - y, die der ursprünglichen entspricht.

Die Verkleinerung auf einen neuen Nenner ist zulässig, dann muss der Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multipliziert werden. Nehmen wir einen Bruch der Form x 3 - 1 0, 5 · x, so bringen wir zum Nenner x. Dazu müssen Sie Zähler und Nenner mit dem Ausdruck 2 · x multiplizieren, dann erhalten wir den Ausdruck x 3 - 1 0, 5 · x = 2 · x · x 3 - 1 0, 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 - 1 x.

Die Reduktion von Fraktionen oder die Reduktion ähnlicher Fraktionen ist nur an der ODZ der angegebenen Fraktion erforderlich. Wenn wir den Zähler und den Nenner mit dem irrationalen Ausdruck multiplizieren, erhalten wir, dass wir die Irrationalität im Nenner loswerden.

Übergang von Wurzeln zu Graden

Übergänge von Wurzeln zu Graden sind für die schnelle Umwandlung irrationaler Ausdrücke notwendig. Wenn wir die Gleichheit a m n = a m n betrachten, können wir sehen, dass ihre Verwendung möglich ist, wenn a eine positive Zahl ist, m eine ganze Zahl ist und n eine natürliche Zahl ist. Betrachten wir den Ausdruck 5 - 2 3, dann haben wir das Recht, ihn als 5 - 2 3 zu schreiben. Diese Ausdrücke sind äquivalent.

Wenn es eine negative Zahl oder eine Zahl mit Variablen unter der Wurzel gibt, ist die Formel a m n = a m n nicht immer anwendbar. Wenn es notwendig ist, solche Wurzeln durch (- 8) 3 5 und (- 16) 2 4 Grad zu ersetzen, erhalten wir, dass - 8 3 5 und - 16 2 4 durch die Formel a m n = a m n nicht mit negativem a funktionieren. Um das Thema radikaler Ausdrücke und ihre Vereinfachungen im Detail zu analysieren, muss der Artikel über den Übergang von Wurzeln zu Graden und umgekehrt studiert werden. Es sei daran erinnert, dass die Formel a m n = a m n nicht auf alle Ausdrücke dieser Art anwendbar ist. Die Beseitigung der Irrationalität trägt zur weiteren Vereinfachung des Ausdrucks, seiner Umwandlung und Lösung bei.

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